Es uno de las pocos intérpretes que han obtenido la «Triple corona de actuación». Ha sido galardonado con todos los premios importantes del cine, entre ellos: un Óscar, dos Globos de Oro, tres BAFTA, cuatro del Sindicato de Actores, un Emmy, un Tony y Premios AACTA. Es uno de los pocos actores que han ganado los seis premios más importantes de la interpretación y el primero de su nacionalidad en ganar un Óscar. También es notable por ser el primer actor en ganar el Óscar, el BAFTA, el Globo de Oro, el premio del Sindicato de Actores y el Premio de la Crítica por una sola actuación: Shine de 1996. Otros trabajos notables de Geoffrey son Shakespeare in Love, Quills, El sastre de Panamá, Elizabeth, Los miserables y El discurso del rey. Rush también adquirió una considerable popularidad en las nuevas generaciones al interpretar el papel del pirata Héctor Barbossa en las cinco películas que componen la exitosa saga Piratas del Caribe, producida por Walt Disney Pictures. En televisión ha dado vida a Peter Sellers en Llámame Peter y a Albert Einstein en Genius: Einstein.

En agosto de 2011 fue nombrado presidente fundador de la Academia Australiana de Cine y Televisión, afiliada al Instituto de Cine Australiano.​ En 2012 fue nombrado «Australiano del Año».​ Es miembro de la orden de Australia, otorgada únicamente por la reina Isabel II de Reino Unido. Es Doctor Honoris Causa de las Letras por la Universidad de Queensland, en Australia. También fue galardonado con la Medalla del Centenario de Australia en la lista de honores de año nuevo —2001— otorgado por Isabel II del Reino Unido a sus servicios a las artes. El 2 de diciembre de 2017 dimitió como Presidente de la Academia después de que salieran a la luz acusaciones contra él por "conducta inapropiada". El actor mantuvo que no cometió acoso sexual,​ y los tribunales australianos le dieron la razón.

Además, destacan películas como El sastre de Panamá (2001), Frida (2002), Intolerable Cruelty (2003) o Llámame Peter (2004), donde encarnó a Peter Sellers, o también House on Haunted Hill (1999), remake de la película con el mismo nombre dirigida en 1959 por el director William Castle y protagonizada por Vincent Price. También destaca la serie cinematográfica de Piratas del Caribe (2003, 2006, 2007, 2011 y 2017), en las que interpreta al capitán Héctor Barbossa (antagonista de la primera entrega) y protagonista secundario en la tercera, cuarta y quinta entrega, repitiendo la voz de su personaje para las mejoras en las atracciones de Piratas del Caribe en Disneyland y en los parques temáticos Magic Kingdom y Tokio Disneyland, con un audio-animatronic del personaje de Rush.

En 2006, Rush fue el presentador de los premios del Australian Film Institute para el canal Nine Network. También fue el maestro de ceremonias de nuevo en los Premios AFI de 2007. Entre 2011 y 2017 fue también su presidente.

A principios de 2009, Rush apareció en una serie de sellos postales de edición limitada junto a algunos de los actores reconocidos internacionalmente de Australia. Él, Cate Blanchett, Russell Crowe y Nicole Kidman, cada uno aparecía dos veces en la serie. La imagen de Rush está tomada de la película Shine.

En 2009, estrena en Broadway, junto a la actriz Susan Sarandon con quien coincidió en la película Amigas a la fuerza, la obra Exit the King (Le Roi se meurt), de Eugène Ionesco. Con esta obra, estrenada en Sídney y Melbourne dos años antes, se hizo con numerosos premios, incluyendo su primer Premio Tony, uno de los más prestigiosos del teatro estadounidense. Curiosamente fue también Sarandon quien presentó en la gala de 1997 su candidatura al Oscar.

En 2010 protagonizó, junto a Colin Firth y Helena Bonham Carter, la película de Tom Hooper El discurso del rey, que se centra en la historia de Jorge VI del Reino Unido (Firth) y su tartamudez, que le hace buscar la ayuda de un terapeuta de trastornos del habla, Lionel Logue, interpretado por Rush. Por este papel consiguió su cuarta nominación al Óscar.

En 2013, Rush protagonizó la película de Giuseppe Tornatore La mejor oferta y la versión cinematográfica de la novela best-seller La ladrona de libros.

En 2014 se expuso "Las extraordinarias formas de Geoffrey Rush", en el Arts Centre Melbourne (Australia). La muestra está dedicada a los roles creados por el actor en obras de teatro como Exit the King, The Diary of a Madman y The Importance of Being Earnest, y en películas como Shine, Quills, Piratas del Caribe y El discurso del rey, donde exhibe vestuarios, fotografías, vídeos y diferentes artículos.

En 2017, interpretó al científico, Albert Einstein, en la serie Genius: Einstein, producida por National Geographic Channel. basada en el libro Einstein: Su Vida y Universo, de Walter Isaacson.